STATPLAY

1. Step 1: k のスライダーを 1.0 にする → 面積は約68%。これが「±1σ に約7割」。
2. Step 2: k を 1.96 にする → 面積は約95%。この数字、検定や信頼区間で何度も出てくる。
3. Step 3: k を 3.0 まで広げる → ほぼ100%。外側はもうほとんどない。

1. Step 1: Set k to 1.0 → area is ~68%. That's "±1σ covers about 70%."
2. Step 2: Set k to 1.96 → area is ~95%. You'll see this number everywhere in testing and CIs.
3. Step 3: Stretch k to 3.0 → nearly 100%. Almost nothing lies outside.

1. Step 1: ▶ 標準化する を押す → μ=2, σ=1.5 の曲線がスーッと N(0,1) に変身する。
2. Step 2: μ を −2、σ を 2.5 に変えて再度 ▶ → 全然違う形なのに、同じピンクの曲線にピタッ。
3. Step 3: 進度スライダーを途中で止める → 変換の"途中経過"を観察。μ が0に、σ が1に近づいていく。
4. Step 4: σ を 0.5 に → 尖った曲線が平たくなりながら標準正規に合流。

1. Step 1: Press ▶ Standardize → the μ=2, σ=1.5 curve morphs smoothly into N(0,1).
2. Step 2: Change μ to −2, σ to 2.5, then ▶ again → a totally different curve snaps onto the same pink one.
3. Step 3: Pause the progress slider midway → watch μ approach 0 and σ approach 1 in real time.
4. Step 4: Set σ to 0.5 → a sharp peak flattens as it merges into the standard normal.

1. Step 1: μ=0, σ=1 のまま a=−1, b=1 → 約68.3%。これが「±1σ に約7割」。
2. Step 2: σ を 0.5 に縮める → 同じ [−1, 1] でもピンク面積が激増。散らばりが小さい＝ほぼ全員がこの範囲。
3. Step 3: μ を 2 に動かす → 曲線ごとスライド。a, b はそのままなのに面積が激変。
4. Step 4: グラフ上を直接ドラッグ → 近い方の境界 a/b が指に追従する。

1. Step 1: Keep μ=0, σ=1, set a=−1, b=1 → ~68.3%. That's "±1σ covers ~70%."
2. Step 2: Shrink σ to 0.5 → the pink area for the same [−1, 1] explodes. Less spread = almost everyone is in range.
3. Step 3: Slide μ to 2 → the whole curve shifts. Same a,b, but area changes dramatically.
4. Step 4: Drag directly on the graph → the nearest a/b boundary follows your finger.

1. Step 1: P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.12 → グラフ下の P(A∪B) 欄が 0.58 になるのを確認。0.4+0.3−0.12 = 0.58、これが加法定理。
2. Step 2: 「独立にする」ボタンを押す → P(A∩B) が自動的に P(A)·P(B) に調整される。これが独立の意味。
3. Step 3: P(A∩B) を 0 付近にする → 2つの円が離れる。これが「排反」（同時に起きない）。
4. Step 4: P(A∩B) を P(B) に近づける → P(A|B) 欄が1に近づく。B が起きたらほぼ A も起きる、という関係。

1. Step 1: Set P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.12 → check the P(A∪B) readout below the graph shows 0.58. That's 0.4+0.3−0.12 = 0.58, the addition rule.
2. Step 2: Press "Set Independent" → P(A∩B) auto-adjusts to P(A)·P(B). That's what independence means.
3. Step 3: Drag P(A∩B) near 0 → the circles separate. This is "mutually exclusive" (can't happen together).
4. Step 4: Push P(A∩B) close to P(B) → the P(A|B) readout approaches 1. If B happens, A almost certainly happens too.

1. Step 1: 有病率を 0.001（一般集団） と 0.4（高リスク群） で往復してみる → 同じ感度99%・特異度95%なのに、陽性的中率が 1.96% から 92.86% へ大きく動く。事前確率の効き方を体感する。
2. Step 2: 有病率 0.001 で陽性的中率はたった 1.96%。陽性100人のうち、実際に病気なのは2人だけ。直感とのズレを味わう。
3. Step 3: 有病率を 0.001 のまま、特異度を 99.9% にする → 偽陽性が激減し、陽性的中率が劇的に改善。
4. Step 4: 1000人の町の図を見ながら、TP（真陽性）と FP（偽陽性）の人数比を確認しよう。

1. Step 1: Sweep prevalence between 0.001 (general population) and 0.4 (high-risk group) → with the same 99% sensitivity and 95% specificity, PPV swings from 1.96% to 92.86%. Feel how strongly the prior dominates.
2. Step 2: At prevalence 0.001, PPV is just 1.96% — only ~2 of 100 positives are actually sick. Feel the gap from intuition.
3. Step 3: Keep prevalence at 0.001 but raise specificity to 99.9% → false positives plummet, PPV improves dramatically.
4. Step 4: Watch the "town of 1,000" diagram and compare TP (true positive) vs FP (false positive) counts.

1. Step 1: 二項分布で n=20, p=0.5 → 左右対称のベル型。p を 0.1 に → 右に歪む。
2. Step 2: 二項の n を 50、p を 0.06 に → np≈3。ポアソン(λ=3) と見比べてみよう。ほぼ同じ形。
3. Step 3: ポアソンの λ=3 にしてグラフ左上の「E[X] = Var[X] = λ = 3.00」で平均=分散を確認。λ を 20 まで上げるとベル型に近づく。

1. Step 1: Binomial: set n=20, p=0.5 → symmetric bell. Change p to 0.1 → skews right.
2. Step 2: Set binomial n=50, p=0.06 → np≈3. Compare with Poisson(λ=3) — nearly identical shapes.
3. Step 3: Set Poisson λ=3 and check "E[X] = Var[X] = λ = 3.00" in the top-left of the graph. Raise λ to 20 → it approaches a bell.

1. Step 1: λ=3 → 平均3回の事象。0〜6回あたりに集中している。グラフ左上の「E[X] = Var[X] = λ = 3.00」で平均=分散を確認。
2. Step 2: λ を 1 に → ピークが左端に寄り、0回が最頻値。めったに起きない事象。
3. Step 3: λ を 10 に → ベル型に近づく。正規分布の面影が見えてくる。
4. Step 4: λ を 20 まで上げる → ほぼ正規分布の形。λ が大きくなると正規分布で近似できる（中心極限定理の効果）。

1. Step 1: λ=3 → average of 3 events. Most mass sits between 0 and 6. Check "E[X] = Var[X] = λ = 3.00" at the top-left.
2. Step 2: Lower λ to 1 → peak shifts to 0. Rare events dominate.
3. Step 3: Raise λ to 10 → starts looking bell-shaped. The normal is emerging.
4. Step 4: Push λ to 20 → nearly normal in shape. As λ grows, Poisson can be approximated by a normal distribution (Central Limit Theorem at work).

1. Step 1: λ=1 → 平均待ち時間 = 1。曲線は急激に減衰する。
2. Step 2: λ を 0.2 に → なだらかに減衰。めったに起きない事象は長く待つ。
3. Step 3: λ を 3 に → 急降下。頻繁に起きる事象は待ち時間が短い（平均 1/3）。
4. Step 4: どの λ でも曲線の形は同じ「L字」。これが無記憶性 — 過去の待ち時間は将来に影響しない。

1. Step 1: λ=1 → mean wait time = 1. The curve drops sharply.
2. Step 2: Set λ to 0.2 → gentle decay. Rare events mean long waits.
3. Step 3: Set λ to 3 → steep drop. Frequent events = short waits (mean 1/3).
4. Step 4: Every λ gives the same "L" shape. That is memorylessness — past waiting does not affect the future.

1. Step 1: 上のドロップダウンで「指数分布」を選び、n スライダーを 1 にして ▶ → 右に歪んだまま。まだ全然ベルじゃない。
2. Step 2: n スライダーを 5 にして ▶ → 少しベルっぽくなるが、まだ歪み。
3. Step 3: n スライダーを 30 にして ▶ → ほぼ正規分布。「n≥30」は定理が保証する値ではなく、経験的な目安。元の分布が極端に歪んでいると、もっと必要なこともある。
4. Step 4: ドロップダウンを「二峰分布」に切り替えて同じことをやる → 山2つのやつですらベルに化ける衝撃。

1. Step 1: Use the dropdown above to choose "Exponential" and drag the n slider to 1, hit ▶ → still heavily skewed. Not a bell at all.
2. Step 2: Drag the n slider to 5 and run → starting to look bell-ish, but still skewed.
3. Step 3: Drag the n slider to 30 and run → nearly normal. "n≥30" is a practical rule of thumb, not a theorem — heavily skewed distributions may need more.
4. Step 4: Switch the dropdown to "Bimodal" and repeat → even a two-peaked distribution morphs into a bell. Worth watching twice.

1. Step 1: p=0.5 で ▶ シミュレート → 最初は暴れるが、右に行くほど 0.5 に吸い寄せられる。
2. Step 2: RESET して、もう一度 ▶ → 序盤の軌道は毎回違うが、終盤は毎回同じ場所に収束する。
3. Step 3: p を 0.8 に変えてシミュレート → 赤線が 0.8 に引き寄せられることを確認。
4. Step 4: p を 0.05（レアイベント）に → 最初はゼロ付近で張り付くが、やはり p に収束する。

1. Step 1: Set p=0.5, hit ▶ → the line wobbles wildly at first, then gets pulled toward 0.5.
2. Step 2: RESET and run again → the early path is different every time, but it always converges.
3. Step 3: Change p to 0.8 and simulate → the red line now converges to 0.8.
4. Step 4: Set p to 0.05 (rare event) → it hugs zero early on, but still converges to p. The law holds.

1. Step 1: 信頼度95%, n=30 で ▶ 300回生成 → ピンク（外した区間）がちょうど5%前後になることを確認。
2. Step 2: 信頼度を 80% に下げて再生成 → ピンクが増える。幅を狭めた分、当たりにくい。
3. Step 3: 信頼度95%に戻し、n を 200 にする → 区間の幅がグッと狭くなる。サンプル数の力。
4. Step 4: n を 5 にする → 幅がめちゃ広い。少ないサンプルでは"掴む網"が大きくないと当たらない。

1. Step 1: At 95% confidence, n=30, hit ▶ → pink (missed) intervals should be ~5% of the total.
2. Step 2: Drop confidence to 80% and regenerate → more pink. Narrower net = more misses.
3. Step 3: Back to 95%, set n to 200 → intervals get much tighter. The power of large samples.
4. Step 4: Set n to 5 → intervals are huge. With few samples, you need a wide net to catch the truth.

1. Step 1: ① で z=1.96, α=0.05, 両側 → ギリギリ棄却域の境界。p値≈0.05。ここが分水嶺。
   α（有意水準）＝「これより極端なら偶然じゃないと判断する」基準線。α が棄却域の広さを決める。
2. Step 2: 「観測 z」スライダーを 2.5 に → 棄却域に深く入り、p値が小さくなる。「強い証拠」。
3. Step 3: 検定タイプのドロップダウンを「右側」に切替 → 同じ z=1.96 でも棄却域が片側に集中し、p値が半分に。

1. Step 1: Panel ①: z=1.96, α=0.05, two-sided → right on the boundary. p≈0.05. The watershed.
   α (significance level) = the threshold for "too extreme to be coincidence." It sets the width of the rejection zone.
2. Step 2: Drag the "Observed z" slider to 2.5 → deep in the rejection zone, p-value shrinks. "Strong evidence."
3. Step 3: Switch the test-type dropdown to "Right" → same z=1.96 but rejection area is one-sided; p-value halves.

1. Step 1: δ=2, α=0.05 → 検出力が高い（紫のほとんどが棄却域に入る）。
2. Step 2: δ を 0.5 に → 紫と青がほぼ重なり、検出力がガクッと落ちる。小さな差は見逃しやすい。
3. Step 3: α を 0.01 に厳しくする → 棄却域が狭まり、β（見逃し）が増える。トレードオフ。
4. Step 4: グラフ上を左右にドラッグ → 臨界値を直接動かして α と β の綱引きを体感。

1. Step 1: δ=2, α=0.05 → high power (most of the purple curve falls in the rejection region).
2. Step 2: Lower δ to 0.5 → purple and blue nearly overlap; power drops sharply. Small effects are hard to detect.
3. Step 3: Tighten α to 0.01 → rejection region shrinks, β (misses) increases. The trade-off in action.
4. Step 4: Drag horizontally on the chart → move the critical boundary and feel the α vs β tug-of-war.

1. Step 1: n=15, p̂=0.50, 95% → 信頼区間がかなり広い。たった15人では精度が出ない。
2. Step 2: n を 100 に → 信頼区間がぐっと狭まる。サンプルサイズの威力を実感。
3. Step 3: p̂ を 0.90 に → 分散 p(1-p) が小さくなり、CI が狭くなる。p̂=0.50 が最も広い。
4. Step 4: p̂=0.90 のまま n を 10 に下げる → ⚠ 警告が出たら正規近似の条件を満たしていない。

1. Step 1: n=15, p̂=0.50, 95% → the interval is really wide. Just 15 people isn't enough precision.
2. Step 2: Push n to 100 → the interval tightens up fast. Feel the power of sample size.
3. Step 3: Set p̂ to 0.90 → variance p(1-p) shrinks, so the CI narrows. p̂=0.50 gives the widest interval.
4. Step 4: Keep p̂=0.90, drop n to 10 → if ⚠ appears, the normal approximation conditions aren't met.

「95%信頼区間って、つまり何？」── 言葉だけ追うと迷子になりやすい場面。整理すると「同じ調査を何回もやったら、そのうち約95%の区間が真の母比率を捕まえる」ということ。
200回試してみると、この「95%」が本当かどうか確かめられる。

"What does a 95% CI actually mean?" — easy to lose the thread by chasing the words alone. Reframed: "if you repeated the same survey many times, about 95% of the intervals would capture the true proportion."
Run it 200 times and see whether that 95% claim holds up.

1. Step 1: n=100, p̂=0.60, p₀=0.50, α=0.05, 両側 → 「60%は50%と有意に違うか？」
2. Step 2: p₀ を 0.55 に → z が小さくなり棄却できなくなる。差が小さいと見分けがつかない。
3. Step 3: n を 400 に → 同じ p̂=0.60, p₀=0.55 でも今度は棄却できる。サンプルサイズの威力。
4. Step 4: 検定タイプを「右側」に → 「50%より大きいか」だけを問う片側検定。p値が半分に。

1. Step 1: n=100, p̂=0.60, p₀=0.50, α=0.05, two-sided → "Is 60% significantly different from 50%?"
2. Step 2: Change p₀ to 0.55 → z shrinks and you can no longer reject. Small differences are hard to detect.
3. Step 3: Increase n to 400 → same p̂=0.60, p₀=0.55 but now you reject. The power of sample size.
4. Step 4: Switch test type to "Right" → one-sided test asking only "greater than 50%?" The p-value halves.

1. Step 1: n₁=n₂=100, p̂₁=0.60, p̂₂=0.45 → 差は有意か？
2. Step 2: p̂₂ を 0.55 に近づける → z が小さくなり、棄却が難しくなる。
3. Step 3: n₁=n₂=400 に増やす → 同じ差でも検出力が上がる。
4. Step 4: n₁=50, n₂=200 と非対称にしてみる → 小さい方のnが精度のボトルネック。

1. Step 1: n₁=n₂=100, p̂₁=0.60, p̂₂=0.45 → is the difference significant?
2. Step 2: Move p̂₂ toward 0.55 → z shrinks, rejection gets harder.
3. Step 3: Increase both to n₁=n₂=400 → same gap, more power.
4. Step 4: Try n₁=50, n₂=200 (asymmetric) → the smaller n is the bottleneck.

1. Step 1: n=3 → 自由度1、裾がめちゃくちゃ重い。正規分布（灰色の点線）と比べてみよう。
2. Step 2: n=10 → まだ正規より裾が厚いが、だいぶ近づいてきた。
3. Step 3: n=31 → ほぼ N(0,1) と区別がつかない。信頼区間の2本のバーもほぼ重なる。

1. Step 1: n=3 → df=1, extremely heavy tails. Compare with the normal (gray dashed line).
2. Step 2: n=10 → still heavier tails than normal, but getting closer.
3. Step 3: n=31 → nearly indistinguishable from N(0,1). The CI bars nearly overlap.

1. Step 1: 「公正なサイコロ」のまま試行ボタンを何度か押す → 均等なはずでも毎回バラつく。棒グラフの偏りとχ²統計量の変化を見る。
2. Step 2: セレクトを「イカサマ」に切り替えて試行 → 1の目だけ飛び出て、χ²が棄却域に入る。
3. Step 3: 試行回数スライダーを増やす → サンプルが多いほど小さな偏りでも検出できる（検出力が上がる）。
4. Step 4: dfスライダーを動かして分布の形状変化も確認。df=30 → ほぼ正規分布に。

1. Step 1: Keep "Fair die" selected and press Roll a few times → even a fair die varies each time. Watch the bar chart and χ² statistic change.
2. Step 2: Switch to "Loaded" and roll → face 1 jumps out, χ² enters the rejection region.
3. Step 3: Increase the rolls slider → more samples detect smaller biases (higher power).
4. Step 4: Move the df slider to explore the shape. df=30 → nearly normal.

1. Step 1: AとBのSDを同じ（例：10と10）にする → F≈1、棄却されない。
2. Step 2: BのSDだけ大きくする（例：A=5, B=15）→ Fが大きくなり棄却域に入る。
3. Step 3: nを増やす → 同じSD差でもp値が下がる（検出力が上がる）。
4. Step 4: AとBのSDを交互に変えて「分散比」の意味を体感しよう。

1. Step 1: Set A and B to the same SD (e.g. 10 and 10) → F≈1, not rejected.
2. Step 2: Increase B only (e.g. A=5, B=15) → F grows and enters the rejection region.
3. Step 3: Increase n → same SD gap but lower p-value (more power).
4. Step 4: Alternate A and B's SD to feel what "variance ratio" means.

1. Step 1: ① 適合度：「公正なサイコロ」で自動試行 → n が増えるほど χ² が安定し、p値が大きいまま（帰無仮説を棄却しない）。
2. Step 2: 「イカサマ」に切り替えて自動試行 → χ² が急上昇し、p値が α を下回る。不正が検出される瞬間。
3. Step 3: ② 独立性：左上のセルだけクリックして偏りを作る → χ² が跳ね上がり、独立性が棄却される。
4. Step 4: リセットして、各セルを均等にクリック → χ² は小さいまま。偏りがなければ独立と判定。

1. Step 1: ① Goodness-of-fit: select "Fair die" and auto-roll → as n grows, χ² stays low, p-value stays high (fail to reject).
2. Step 2: Switch to "Loaded" and auto-roll → χ² shoots up, p-value drops below α. The cheat is caught.
3. Step 3: ② Independence: click only the top-left cell to create imbalance → χ² spikes, independence is rejected.
4. Step 4: Reset and click cells evenly → χ² stays small. No imbalance = independence holds.

1. Step 1: 左上セルと右下セルを多めにクリック → 対角に偏ると χ² が上がり「独立でない」と判定。
2. Step 2: ↺ リセットし、全セルを均等にクリック → χ² が小さいまま。偏りがなければ独立。
3. Step 3: α を 0.01 に → 棄却のハードルが上がる。同じデータでも判定が変わることがある。
4. Step 4: 極端に1つのセルだけ大量クリック → 期待度数との乖離が大きく、p値が激減する。

1. Step 1: Click the top-left and bottom-right cells repeatedly → diagonal bias raises χ², verdict: "not independent."
2. Step 2: Reset, then click all cells evenly → χ² stays small. No bias = independent.
3. Step 3: Set α to 0.01 → higher bar for rejection. Same data might flip the verdict.
4. Step 4: Flood a single cell → huge gap from expected frequencies, p-value plummets.

1. Step 1: ▶ 100回 をクリック — 差がない3群でt検定を3回繰り返す試行を100回実施。
2. Step 2: 赤い点の割合を確認 — 理論上14.3%のはずが、実測値はどうなる？
3. Step 3: ▶ 1000回 で試行を追加 — 試行数が増えると14.3%に収束していく。

1. Step 1: Click ▶ 100 trials — runs 100 experiments where 3 identical groups are compared with 3 pairwise t-tests.
2. Step 2: Check the red dot ratio — theory predicts 14.3%. What do you get?
3. Step 3: Click ▶ 1000 trials — as trials accumulate, the rate converges toward 14.3%.

上のシミュレーションで見た「偽陽性の膨張」を、一度の検定で回避するのがこのF検定（ANOVA）です。

1. Step 1: 群間の差をゼロにする → F値が1付近に。全群が「同じ集団」のように見える。
2. Step 2: 群間の差を大きくする → F値が上がり、p値が下がる。棄却域に入る瞬間を確認。
3. Step 3: 群内のばらつきを大きくする → 同じ差でもF値が下がる。「差があっても検出できない」体験。
4. Step 4: サンプルサイズを増やす → F値が上がる。大きなサンプルほど小さな差を検出できる（検出力）。

The F-test (ANOVA) below is how we avoid the false-positive inflation you just saw in the simulation above.

1. Step 1: Set between-group difference to zero → F ≈ 1. All groups look like one population.
2. Step 2: Increase between-group difference → F rises, p drops. Watch it cross the rejection threshold.
3. Step 3: Increase within-group spread → same difference but F drops. "Real differences can hide in noise."
4. Step 4: Increase sample size → F rises. Larger samples detect smaller effects (statistical power).

1. Step 1: r = 0.80 で「生成」→ 右上がりの帯。緑の象限に点が集中している。
2. Step 2: r = −0.60 に変えて「生成」→ 右下がり。赤の象限に点が多い。
3. Step 3: r = 0.00 で「生成」→ 四象限にほぼ均等に散らばる。帯ではなく「雲」。
4. Step 4: CLEAR して、U字型に手で点を配置 → r ≈ 0 なのに明らかに関係がある！ → r は「直線関係」しか捉えられない。

1. Step 1: Set r = 0.80, click Generate → an upward-sloping band. Points cluster in the green quadrants.
2. Step 2: Change to r = −0.60, Generate → downward slope. More points in the red quadrants.
3. Step 3: Set r = 0.00, Generate → points spread evenly across all four quadrants. A "cloud," not a band.
4. Step 4: CLEAR, then manually place a U-shape → r ≈ 0 yet there's an obvious pattern! r only captures linear relationships.

1. Step 1: アニメーションを見る。点が順に現れて、パターンが全然違うのに…
2. Step 2: 各プロットの r ≈ 0.816 を確認。全部ほぼ同じ！
3. Step 3: 回帰直線が出現 → 直線もほぼ同じ。でも II は曲線、III は外れ値、IV は1点が支配。
4. Step 4: 「再生」で何度でも見直せる。数字だけでは見えないものがある。

1. Step 1: Watch the animation. Points appear one by one, patterns look totally different…
2. Step 2: Check each plot's r ≈ 0.816. They're all nearly identical!
3. Step 3: Regression lines appear → lines are nearly identical too. Yet II is curved, III has an outlier, IV is dominated by one point.
4. Step 4: Click "Replay" to watch again. Numbers alone don't tell the whole story.

1. Step 1: 「ランダム20点」を押す → 回帰直線と R² が出る。緑のバー（残差）の大きさを見る。
2. Step 2: 直線から遠い場所にクリックで 外れ値を1つ追加 → 直線がグイッと引っ張られる。外れ値の影響力。
3. Step 3: CLEAR して、ほぼ一直線に 5点 だけ打つ → R²≈1.0。完全な線形関係。
4. Step 4: CLEAR して、丸く（円形に）点を配置 → R²≈0。直線では捉えられない関係。

1. Step 1: Hit "Random 20 pts" → a regression line and R² appear. Check the green bars (residuals).
2. Step 2: Click far from the line to add one outlier → the line jerks toward it. Watch how far a single point can drag the fit.
3. Step 3: CLEAR and place 5 points nearly in a line → R² ≈ 1.0. A perfect linear relationship.
4. Step 4: CLEAR and arrange points in a circle → R² ≈ 0. A line can't capture this pattern.

1. Step 1: デフォルト（相関 = −0.5）で左右のβ₁を見比べる。単回帰のほうが小さい——勉強の効果が過小評価されている。
2. Step 2: 相関スライダーを0にする → 左右のβ₁がほぼ同じに。「交絡がなければ差は出ない」。
3. Step 3: 相関を+0.5にする → 今度は単回帰のβ₁が大きすぎる。交絡の方向で過小にも過大にもなる。
4. Step 4: R²の変化も確認。重回帰は常に単回帰以上——変数を加えて説明力が上がった。

1. Step 1: At default (corr = −0.5), compare β₁ left vs. right. Simple regression is smaller — the study effect is underestimated.
2. Step 2: Set correlation to 0 → both β₁ values nearly match. "No confounding, no bias."
3. Step 3: Set correlation to +0.5 → now simple regression β₁ is too large. Confounding can bias in either direction.
4. Step 4: Check R² too. Multiple regression is always ≥ simple — adding a variable improved explanatory power.

1. Step 1: 3Dグラフをドラッグして回転。半透明の面が回帰平面——データ点がこの面に沿って並んでいる。
2. Step 2: 勉強時間のスライダーを動かす → 予測点が平面の「x₁方向」に移動。傾き = β₁。
3. Step 3: 睡眠時間も動かす → 「x₂方向」に移動。傾き = β₂。2つの変数それぞれの貢献が見える。
4. Step 4: 再サンプリングを数回押す → β₁, β₂, R²が毎回少し変わる。推定値にも「ばらつき」がある。

1. Step 1: Drag the 3D plot to rotate. The translucent surface is the regression plane — data points align along it.
2. Step 2: Move the study slider → the prediction dot slides along the x₁ direction. The tilt = β₁.
3. Step 3: Move sleep too → it moves along x₂. The tilt = β₂. Each variable's contribution is visible.
4. Step 4: Hit Resample a few times → β₁, β₂, R² shift slightly each time. Estimates have variability too.